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In dieser Veröffentlichung betrachten wir die Definition des Rangs einer Matrix sowie die Methoden, mit denen er gefunden werden kann. Wir werden auch Beispiele analysieren, um die Anwendung der Theorie in der Praxis zu demonstrieren.
Bestimmung des Rangs einer Matrix
Matrix-Rang ist der Rang seines Zeilen- oder Spaltensystems. Jede Matrix hat ihre Zeilen- und Spaltenränge, die einander gleich sind.
Reihensystemrang ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen. Der Rang des Spaltensystems wird auf ähnliche Weise bestimmt.
Anmerkungen:
- Der Rang der Nullmatrix (gekennzeichnet durch das Symbol „θ“) beliebiger Größe ist Null.
- Der Rang jedes Zeilenvektors oder Spaltenvektors ungleich Null ist gleich eins.
- Wenn eine Matrix beliebiger Größe mindestens ein Element ungleich Null enthält, dann ist ihr Rang nicht kleiner als eins.
- Der Rang einer Matrix ist nicht größer als ihre Mindestdimension.
- Elementare Transformationen, die an einer Matrix durchgeführt werden, ändern ihren Rang nicht.
Ermitteln des Rangs einer Matrix
Fransen-Minor-Methode
Der Rang einer Matrix ist gleich der maximalen Ordnung einer Nichtnull.
Der Algorithmus lautet wie folgt: Finden Sie die Minderjährigen von den niedrigsten bis zu den höchsten Ordnungen. Wenn gering nOrdnung ist ungleich Null, und alle folgenden (n+1) sind gleich 0, also ist der Rang der Matrix n.
Beispiel
Um es klarer zu machen, nehmen wir ein praktisches Beispiel und finden den Rang der Matrix A unten, unter Verwendung der Methode zum Eingrenzen von Minderjährigen.
Lösung
Wir haben es mit einer 4 × 4-Matrix zu tun, daher kann ihr Rang nicht höher als 4 sein. Außerdem gibt es in der Matrix Elemente ungleich Null, was bedeutet, dass ihr Rang nicht kleiner als eins ist. Also lasst uns anfangen:
1. Starten Sie die Überprüfung Minderjährige zweiter Ordnung. Zunächst nehmen wir zwei Zeilen der ersten und zweiten Spalte.
Minor ist gleich Null.
Deshalb gehen wir zum nächsten Moll über (die erste Spalte bleibt und statt der zweiten nehmen wir die dritte).
Der Minor ist 54≠0, also ist der Rang der Matrix mindestens zwei.
Hinweis: Wenn sich herausstellt, dass dieser Minor gleich Null ist, würden wir die folgenden Kombinationen weiter prüfen:
Bei Bedarf kann die Aufzählung genauso mit Strings fortgesetzt werden:
- 1 und 3;
- 1 und 4;
- 2 und 3;
- 2 und 4;
- 3 und 4.
Wenn alle Minderjährigen zweiter Ordnung gleich null wären, dann wäre der Rang der Matrix gleich eins.
2. Wir haben es fast sofort geschafft, einen Minderjährigen zu finden, der zu uns passt. Machen wir also weiter Minderjährige dritter Ordnung.
Zu dem gefundenen Minor zweiter Ordnung, der ein Ergebnis ungleich Null ergab, fügen wir eine Zeile und eine der grün hervorgehobenen Spalten hinzu (wir beginnen mit der zweiten).
Der Minor stellte sich als Null heraus.
Daher ändern wir die zweite Spalte in die vierte. Und beim zweiten Versuch finden wir einen Minor ungleich Null, was bedeutet, dass der Rang der Matrix nicht kleiner als 3 sein kann.
Hinweis: wenn das Ergebnis wieder Null wäre, würden wir statt der zweiten Reihe die vierte weiter nehmen und die Suche nach einem „guten“ Moll fortsetzen.
3. Nun bleibt noch festzustellen Minderjährige Vierter Ordnung basierend auf dem, was zuvor gefunden wurde. In diesem Fall ist es eine, die mit der Determinante der Matrix übereinstimmt.
Minor ist gleich 144≠0. Dies bedeutet, dass der Rang der Matrix A entspricht 4.
Reduktion einer Matrix auf eine Stufenform
Der Rang einer Stufenmatrix ist gleich der Anzahl ihrer Nicht-Null-Zeilen. Das heißt, alles, was wir tun müssen, ist, die Matrix in die entsprechende Form zu bringen, zum Beispiel mit , die, wie oben erwähnt, ihren Rang nicht ändert.
Beispiel
Finde den Rang einer Matrix B unter. Wir nehmen kein allzu komplexes Beispiel, weil unser Hauptziel einfach darin besteht, die Anwendung der Methode in der Praxis zu demonstrieren.
Lösung
1. Subtrahieren Sie zuerst die verdoppelte erste von der zweiten Zeile.
2. Subtrahieren Sie nun die erste Zeile von der dritten Zeile, multipliziert mit vier.
Wir haben also eine Stufenmatrix, in der die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen gleich zwei ist, daher ist ihr Rang auch gleich 2.