In dieser Veröffentlichung betrachten wir einen der klassischen Sätze der affinen Geometrie – den Satz von Ceva, der diesen Namen zu Ehren des italienischen Ingenieurs Giovanni Ceva erhielt. Wir werden auch ein Beispiel für die Lösung des Problems analysieren, um das präsentierte Material zu konsolidieren.
Aussage des Theorems
Dreieck gegeben ABC, bei der jeder Knoten mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbunden ist.
Somit erhalten wir drei Segmente (AA ', BB ' и CC '), die aufgerufen werden Cevianer.
Diese Segmente schneiden sich genau dann an einem Punkt, wenn die folgende Gleichheit gilt:
|UND'| |NICHT'| |CB'| = |BC '| |WECHSEL'| |AB '|
Der Satz kann auch in dieser Form dargestellt werden (es wird bestimmt, in welchem Verhältnis die Punkte die Seiten teilen):
Der trigonometrische Satz von Ceva
Hinweis: Alle Ecken sind orientiert.
Beispiel für ein Problem
Dreieck gegeben ABC mit Punkten ZU', B ' и C ' auf den Seiten BC, AC и AB, beziehungsweise. Die Eckpunkte des Dreiecks sind mit den gegebenen Punkten verbunden, und die gebildeten Segmente gehen durch einen Punkt. Gleichzeitig die Punkte ZU' и B ' an den Mittelpunkten der entsprechenden gegenüberliegenden Seiten genommen. Finden Sie heraus, in welchem Verhältnis der Punkt C ' teilt die Seite AB.
Lösung
Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß den Bedingungen des Problems zeichnen. Der Einfachheit halber verwenden wir die folgende Notation:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Es bleibt nur noch, das Verhältnis der Segmente nach dem Ceva-Theorem zu bilden und die akzeptierte Notation darin einzusetzen:
Nach Kürzung der Brüche erhalten wir:
Daher AC' = C'B, dh Punkt C ' teilt die Seite AB entzwei.
Daher in unserem Dreieck die Segmente AA ', BB ' и CC ' sind Mediane. Nachdem wir das Problem gelöst hatten, haben wir bewiesen, dass sie sich in einem Punkt schneiden (gültig für jedes Dreieck).
Hinweis: Mit dem Satz von Ceva kann man beweisen, dass sich in einem Dreieck in einem Punkt auch die Winkelhalbierenden oder Höhen schneiden.