Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl

In dieser Veröffentlichung werden wir uns ansehen, wie Sie aus einer komplexen Zahl die Wurzel ziehen können und wie dies beim Lösen quadratischer Gleichungen helfen kann, deren Diskriminante kleiner als Null ist.

Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl

Quadratwurzel

Wie wir wissen, ist es unmöglich, aus einer negativen reellen Zahl die Wurzel zu ziehen. Aber wenn es um komplexe Zahlen geht, kann diese Aktion durchgeführt werden. Finden wir es heraus.

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer z = -9. For √-9 Es gibt zwei Wurzeln:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

Lassen Sie uns die erhaltenen Ergebnisse überprüfen, indem wir die Gleichung lösen z² = -9, das nicht zu vergessen i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ich² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ich² = 9 ⋅ (-1) = -9

Damit haben wir das bewiesen -3i и 3i sind Wurzeln √-9.

Die Wurzel einer negativen Zahl wird normalerweise so geschrieben:

√-1 = ± ich

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i usw.

Wurzel hoch n

Angenommen, wir erhalten Gleichungen der Form z = ⁿ√w… Es hat n Wurzeln (z₀, oder₁, oder₂,…, z_n-1), die mit der folgenden Formel berechnet werden kann:

|w| ist der Modul einer komplexen Zahl w;

φ – seine Argumentation

k ist ein Parameter, der die Werte annimmt: k = {0, 1, 2, …, n-1}.

Quadratische Gleichungen mit komplexen Wurzeln

Das Extrahieren der Wurzel einer negativen Zahl ändert die übliche Vorstellung von uXNUMXbuXNUMXb. Wenn die Diskriminante (D) kleiner als Null ist, dann kann es keine echten Wurzeln geben, aber sie können als komplexe Zahlen dargestellt werden.

Beispiel

Lösen wir die Gleichung x² – 8x + 20 = 0.

Lösung

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, aber wir können immer noch die Wurzel der negativen Diskriminante ziehen:

√D =-16 = ±4i

Jetzt können wir die Wurzeln berechnen:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2 ich.

Daher die Gleichung x² – 8x + 20 = 0 hat zwei komplexe konjugierte Wurzeln:

x₁ = 4 + 2 i

x₂ = 4 – 2i