Erhöhen einer komplexen Zahl in eine natürliche Potenz

In dieser Veröffentlichung werden wir untersuchen, wie eine komplexe Zahl potenziert werden kann (einschließlich der Verwendung der De-Moivre-Formel). Das theoretische Material wird zum besseren Verständnis durch Beispiele ergänzt.

Potenzieren einer komplexen Zahl

Denken Sie zunächst daran, dass eine komplexe Zahl die allgemeine Form hat: z = a + bi (algebraische Form).

Jetzt können wir direkt zur Lösung des Problems übergehen.

Quadratzahl

Wir können den Grad als Produkt derselben Faktoren darstellen und dann ihr Produkt finden (während wir uns daran erinnern i² = -1).

z² = (a + bi)² = (ein + bi)(ein + bi)

Beispiel 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Sie können auch verwenden, nämlich das Quadrat der Summe:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ ein ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Hinweis: Auf die gleiche Weise können bei Bedarf Formeln für das Quadrat der Differenz, die Kubik der Summe / Differenz usw. erhalten werden.

Nter Grad

Erhöhen Sie eine komplexe Zahl z in Form von Sachleistungen n viel einfacher, wenn es in trigonometrischer Form dargestellt wird.

Denken Sie daran, dass die Notation einer Zahl im Allgemeinen so aussieht: z = |z| ⋅ (cos φ + ich ⋅ sin φ).

Zur Potenzierung können Sie verwenden Die Formel von De Moivre (benannt nach dem englischen Mathematiker Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + ich ⋅ sin(nφ))

Die Formel erhält man durch Schreiben in trigonometrischer Form (die Module werden multipliziert und die Argumente addiert).

Beispiel 2

Erhöhen Sie eine komplexe Zahl z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) bis zum achten Grad.

Lösung

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).