Inhalte
In dieser Veröffentlichung werden wir die Haupteigenschaften der Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck betrachten und auch Beispiele für die Lösung von Problemen zu diesem Thema analysieren.
Hinweis: das Dreieck heißt rechteckig, wenn einer seiner Winkel recht (gleich 90°) und die anderen beiden spitz (<90°) sind.
Höheneigenschaften in einem rechtwinkligen Dreieck
Eigenschaft 1
Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Höhen (h1 и h2) fallen mit seinen Beinen zusammen.
dritte Höhe (h3) fällt im rechten Winkel zur Hypotenuse ab.
Eigenschaft 2
Das Orthozentrum (Schnittpunkt der Höhen) eines rechtwinkligen Dreiecks liegt am Scheitelpunkt des rechten Winkels.
Eigenschaft 3
Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck, das zur Hypotenuse gezogen wird, teilt es in zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke, die auch dem ursprünglichen ähnlich sind.
1. △ABD ~ △ABC bei zwei gleichen Winkeln: ∠ADB =LAC (Gerade), ∠ABD =ABC.
2. △ADC ~ △ABC bei zwei gleichen Winkeln: ∠ADC =LAC (Gerade), ∠ACD =ACB.
3. △ABD ~ △ADC bei zwei gleichen Winkeln: ∠ABD =DAC,BAD =ACD.
Beweis: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Gleichzeitig ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.
Daher ∠BAD =ACD.
Auf ähnliche Weise lässt sich beweisen, dass ∠ABD =DAC.
Eigenschaft 4
In einem rechtwinkligen Dreieck berechnet sich die zur Hypotenuse gezeichnete Höhe wie folgt:
1. Durch Segmente auf der Hypotenuse, gebildet als Ergebnis seiner Teilung durch die Basis der Höhe:
2. Durch die Längen der Seiten des Dreiecks:
Diese Formel leitet sich ab Eigenschaften des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck (der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse):
Hinweis: zu einem rechtwinkligen Dreieck gelten die in unserer Publikation vorgestellten allgemeinen Höheneigenschaften ebenfalls.
Beispiel für ein Problem
Aufgabe 1
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks wird durch die zu ihr gezeichnete Höhe in die Segmente 5 und 13 cm geteilt. Finden Sie die Länge dieser Höhe.
Lösung
Lassen Sie uns die erste Formel verwenden, die in dargestellt wird Eigenschaft 4:
Aufgabe 2
Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 und 12 cm lang. Finden Sie die Länge der Höhe, die zur Hypotenuse gezogen wird.
Lösung
Lassen Sie uns zuerst die Länge der Hypotenuse entlang finden (lassen Sie die Beine des Dreiecks sein "zu" и "B", und die Hypotenuse ist "Vs"):
c2 = A2 + B2 = 92 + 122 = 225.
Folglich ist die с = 15cm.
Jetzt können wir die zweite Formel von anwenden Eigenschaften 4oben diskutiert:
