Identitätstransformationen von Ausdrücken

In dieser Veröffentlichung betrachten wir die Haupttypen identischer Transformationen algebraischer Ausdrücke und begleiten sie mit Formeln und Beispielen, um ihre Anwendung in der Praxis zu demonstrieren. Der Zweck solcher Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck durch einen identisch gleichen zu ersetzen.

Terme und Faktoren neu anordnen

In jeder Summe können Sie die Bedingungen neu anordnen.

a + b = b + a

In jedem Produkt können Sie die Faktoren neu anordnen.

ein ⋅ b = b ⋅ ein

Beispiele:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Gruppierungsbegriffe (Multiplikatoren)

Wenn die Summe mehr als 2 Terme enthält, können sie durch Klammern gruppiert werden. Bei Bedarf können Sie diese zunächst tauschen.

a + b + c + d = (a+c)+(b+d)

Im Produkt können Sie die Faktoren auch gruppieren.

ein ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (ein ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

Beispiele:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division durch dieselbe Zahl

Wenn die gleiche Zahl zu beiden Teilen der Identität addiert oder subtrahiert wird, bleibt sie wahr.

If a + b = c + ddann (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Außerdem wird die Gleichheit nicht verletzt, wenn beide Teile mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

If a + b = c + ddann (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

Beispiele:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Ersetzen einer Differenz durch eine Summe (oft ein Produkt)

Jede Differenz kann als Summe von Termen dargestellt werden.

a – b = a + (-b)

Den gleichen Trick kann man auch bei der Division anwenden, also häufig durch Produkt ersetzen.

ein : b = ein ⋅ b^-1

Beispiele:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Rechenoperationen durchführen

Sie können einen mathematischen Ausdruck (manchmal erheblich) vereinfachen, indem Sie arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) unter Berücksichtigung der Allgemeingültigkeit durchführen Ausführungsreihenfolge:

• zuerst potenzieren wir, ziehen die Wurzeln, berechnen Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen;
• dann führen wir die Aktionen in Klammern aus;
• Zuletzt – von links nach rechts, führen Sie die verbleibenden Aktionen aus. Multiplikation und Division haben Vorrang vor Addition und Subtraktion. Dies gilt auch für Ausdrücke in Klammern.

Beispiele:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Halterungserweiterung

Klammern in einem arithmetischen Ausdruck können entfernt werden. Diese Aktion wird nach bestimmten durchgeführt – je nachdem, welche Zeichen („plus“, „minus“, „multiplizieren“ oder „dividieren“) vor oder nach den Klammern stehen.

Beispiele:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18: (4 – 6) = 18: 4-18: 6

Einklammerung des gemeinsamen Faktors

Wenn alle Terme im Ausdruck einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser aus Klammern herausgenommen werden, wobei die durch diesen Faktor geteilten Terme bestehen bleiben. Diese Technik gilt auch für Literalvariablen.

Beispiele:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Sie können auch verwenden, um identische Transformationen algebraischer Ausdrücke durchzuführen.

Beispiele:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627