Linear abhängige und unabhängige Zeilen: Definition, Beispiele

In dieser Veröffentlichung werden wir betrachten, was eine lineare Kombination von Strings ist, linear abhängige und unabhängige Strings. Wir werden auch Beispiele für ein besseres Verständnis des theoretischen Materials geben.

Definieren einer linearen Kombination von Zeichenfolgen

Lineare Kombination (LK)-Term s₁Mit der ₂, …, S_n Matrix A wird ein Ausdruck der folgenden Form genannt:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Wenn alle Koeffizienten α_i gleich Null sind, also ist LC trivial. Mit anderen Worten, die triviale Linearkombination ist gleich der Nullreihe.

Beispielsweise: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Dementsprechend gilt, wenn mindestens einer der Koeffizienten α_i nicht gleich Null ist, dann ist LC nicht trivial.

Beispielsweise: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Linear abhängige und unabhängige Zeilen

Das Saitensystem ist linear abhängig (LZ) wenn es eine nicht-triviale Linearkombination von ihnen gibt, die gleich der Nulllinie ist.

Daraus folgt, dass ein nicht-trivialer LC in manchen Fällen gleich dem Null-String sein kann.

Das Saitensystem ist linear unabhängig (LNZ), wenn nur der triviale LC gleich dem Null-String ist.

Anmerkungen:

• In einer quadratischen Matrix ist das Zeilensystem nur dann ein LZ, wenn die Determinante dieser Matrix Null ist ( = 0).
• In einer quadratischen Matrix ist das Zeilensystem nur dann ein LIS, wenn die Determinante dieser Matrix ungleich Null ist ( ≠ 0).

Beispiel für ein Problem

Lassen Sie uns herausfinden, ob das Saitensystem ist {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} linear abhängig.

Entscheidung:

1. Lassen Sie uns zuerst einen LC erstellen.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Werte angenommen werden sollen α₁ и α₂sodass die Linearkombination gleich der Nullzeichenkette ist.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Lassen Sie uns ein Gleichungssystem erstellen:

4. Teilen Sie die erste Gleichung durch drei, die zweite durch vier:

5. Die Lösung dieses Systems ist beliebig α₁ и α₂, Mit α₁ = -3a₂.

Zum Beispiel, wenn α₂ = 2dann α₁ = -6. Wir setzen diese Werte in das obige Gleichungssystem ein und erhalten:

Antworten: also die Zeilen s₁ и s₂ linear abhängig.