In dieser Veröffentlichung werden wir betrachten, was die Gaußsche Methode ist, warum sie benötigt wird und was ihr Prinzip ist. Außerdem wird anhand eines praktischen Beispiels demonstriert, wie das Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems angewendet werden kann.
Beschreibung der Gauß-Methode
Gauss-Methode ist die klassische Methode der sequentiellen Eliminierung von Variablen zur Lösung von . Es ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1885) benannt.
Aber erinnern wir uns zuerst daran, dass SLAU:
- eine einzige Lösung haben;
- unendlich viele Lösungen haben;
- inkompatibel sein, dh keine Lösungen haben.
Praktische Vorteile
Die Gauß-Methode ist eine großartige Möglichkeit, eine SLAE zu lösen, die mehr als drei lineare Gleichungen sowie nicht quadratische Systeme enthält.
Prinzip der Gauß-Methode
Das Verfahren umfasst die folgenden Schritte:
- mit Stiel – die dem Gleichungssystem entsprechende erweiterte Matrix wird übrigens über den Zeilen auf die obere Dreiecksform (Stufenform) reduziert, dh unter der Hauptdiagonale sollen nur noch Elemente gleich Null sein.
- Zurück – in der resultierenden Matrix werden die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen ebenfalls auf Null gesetzt (untere Dreiecksansicht).
SLAE-Lösungsbeispiel
Lassen Sie uns das folgende lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen.
Lösung
1. Zunächst stellen wir die SLAE in Form einer erweiterten Matrix vor.
2. Unsere Aufgabe ist es nun, alle Elemente unter der Hauptdiagonalen zurückzusetzen. Weitere Aktionen hängen von der spezifischen Matrix ab, im Folgenden beschreiben wir diejenigen, die auf unseren Fall zutreffen. Zuerst vertauschen wir die Zeilen und platzieren so ihre ersten Elemente in aufsteigender Reihenfolge.
3. Subtrahieren Sie von der zweiten Reihe das Doppelte der ersten und von der dritten – das Dreifache der ersten.
4. Fügen Sie die zweite Zeile zur dritten Zeile hinzu.
5. Subtrahieren Sie die zweite Zeile von der ersten Zeile und teilen Sie gleichzeitig die dritte Zeile durch -10.
6. Die erste Stufe ist abgeschlossen. Jetzt müssen wir die Nullelemente über der Hauptdiagonalen erhalten. Subtrahieren Sie dazu die dritte multipliziert mit 7 von der ersten Zeile und addieren Sie die dritte multipliziert mit 5 zur zweiten.
7. Die endgültige erweiterte Matrix sieht folgendermaßen aus:
8. Es entspricht dem Gleichungssystem:
Antworten: Wurzel-SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.