Was ist der Grenzwert einer Funktion

In dieser Veröffentlichung betrachten wir eines der Hauptkonzepte der mathematischen Analyse – den Grenzwert einer Funktion: seine Definition sowie verschiedene Lösungen mit praktischen Beispielen.

Den Grenzwert einer Funktion bestimmen

Funktionsgrenze – der Wert, zu dem der Wert dieser Funktion tendiert, wenn ihr Argument zum Grenzwert tendiert.

Datensatz begrenzen:

• die Grenze wird durch das Symbol angezeigt lim;
• darunter wird hinzugefügt, welchen Wert das Argument (Variable) der Funktion anstrebt. Normalerweise dies x, aber nicht unbedingt, zum Beispiel:x→1″;
• dann wird die Funktion selbst rechts hinzugefügt, zum Beispiel:

  

Somit sieht die endgültige Aufzeichnung des Limits wie folgt aus (in unserem Fall):

Liest sich wie „Grenze der Funktion, wenn x gegen Eins strebt“.

x→ 1 – das bedeutet, dass „x“ konsequent Werte annimmt, die sich unendlich der Einheit nähern, aber niemals mit ihr zusammenfallen (sie wird nicht erreicht).

Entscheidungsgrenzen

Mit einer bestimmten Nummer

Lassen Sie uns die obige Grenze lösen. Ersetzen Sie dazu einfach die Einheit in der Funktion (weil x→1):

Um den Grenzwert zu lösen, versuchen wir also zunächst, die angegebene Zahl einfach in die Funktion darunter einzusetzen (wenn x gegen eine bestimmte Zahl tendiert).

Mit Unendlichkeit

In diesem Fall wächst das Argument der Funktion unendlich, d.h. "X" strebt gegen unendlich (∞). Zum Beispiel:

If x→∞, dann strebt die gegebene Funktion gegen minus unendlich (-∞), denn:

• 3 - 1 2 =
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 usw.

Noch ein komplexeres Beispiel

Um auch dieses Limit zu lösen, erhöhen Sie einfach die Werte x und schauen Sie sich das „Verhalten“ der Funktion in diesem Fall an.

• RџSЂRЂ x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRЂ x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRЂ x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Also für "X"gegen unendlich strebend, die Funktion x² +3x –6 wächst unendlich.

Mit Unsicherheit (x strebt gegen unendlich)

In diesem Fall sprechen wir von Grenzen, wenn die Funktion ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Worin "X" strebt gegen unendlich.

Beispiel: Lassen Sie uns die Grenze unten berechnen.

Lösung

Die Ausdrücke sowohl im Zähler als auch im Nenner gehen gegen unendlich. Es kann davon ausgegangen werden, dass in diesem Fall die Lösung wie folgt aussehen wird:

Allerdings nicht alles so einfach. Um das Limit zu lösen, müssen wir Folgendes tun:

1. Finden x zur höchsten Potenz für den Zähler (in unserem Fall ist es zwei).

2. Ähnlich definieren wir x zur höchsten Potenz für den Nenner (auch gleich zwei).

3. Jetzt dividieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch x im Seniorenstudium. In unserem Fall in beiden Fällen – im zweiten Fall, aber wenn sie unterschiedlich wären, sollten wir den höchsten Abschluss nehmen.

4. Im resultierenden Ergebnis tendieren alle Brüche gegen Null, daher ist die Antwort 1/2.

Mit Unsicherheit (x strebt gegen eine bestimmte Zahl)

Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind Polynome, aber "X" strebt gegen eine bestimmte Zahl, nicht gegen unendlich.

In diesem Fall verschließen wir bedingt unsere Augen vor der Tatsache, dass der Nenner Null ist.

Beispiel: Lassen Sie uns die Grenze der Funktion unten finden.

Lösung

1. Lassen Sie uns zuerst die Zahl 1 in die Funktion einsetzen, zu der "X". Wir erhalten die Ungewissheit der Form, die wir betrachten.

2. Als nächstes zerlegen wir Zähler und Nenner in Faktoren. Dazu können Sie die abgekürzten Multiplikationsformeln verwenden, wenn sie geeignet sind, oder.

In unserem Fall sind die Wurzeln des Ausdrucks im Zähler (2x² – 5x + 3 = 0) sind die Zahlen 1 und 1,5. Daher kann es dargestellt werden als: 2(x-1)(x-1,5).

Nenner (x–1) ist zunächst einfach.

3. Wir erhalten eine solche modifizierte Grenze:

4. Der Bruch lässt sich kürzen durch (x–1):

5. Es bleibt nur noch, die Zahl 1 in dem unter der Grenze erhaltenen Ausdruck zu ersetzen: