Der kleine Satz von Fermat

In dieser Veröffentlichung betrachten wir einen der Hauptsätze der Theorie der ganzen Zahlen –  Der kleine Satz von Fermatbenannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat. Wir werden auch ein Beispiel für die Lösung des Problems analysieren, um das präsentierte Material zu konsolidieren.

Aussage des Theorems

1. Initial

If p ist eine Primzahl a ist eine ganze Zahl, die nicht durch teilbar ist pdann a^p-1 - 1 geteilt durch p.

Formal wird es so geschrieben: a^p-1 ≡ 1 (gegen p).

Hinweis: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch XNUMX und sich selbst ohne Rest teilbar ist.

Beispielsweise:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• Anzahl 15 geteilt durch 5 ohne Rest.

2. Alternativen

If p ist eine Primzahl, a dann jede ganze Zahl a^p vergleichbar mit a Form p.

a^p ≡ ein (gegen p)

Geschichte der Beweisfindung

Pierre de Fermat hat den Satz 1640 formuliert, aber nicht selbst bewiesen. Später wurde dies von Gottfried Wilhelm Leibniz, einem deutschen Philosophen, Logiker, Mathematiker usw., durchgeführt. Es wird angenommen, dass er den Beweis bereits 1683 hatte, obwohl er nie veröffentlicht wurde. Bemerkenswert ist, dass Leibniz den Satz selbst entdeckte, ohne zu wissen, dass er bereits früher formuliert worden war.

Der erste Beweis des Satzes wurde 1736 veröffentlicht und gehört dem Schweizer, Deutschen, Mathematiker und Mechaniker Leonhard Euler. Der kleine Satz von Fermat ist ein Sonderfall des Satzes von Euler.

Beispiel für ein Problem

Finden Sie den Rest einer Zahl 2¹² on 12.

Lösung

Stellen wir uns eine Zahl vor 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 eine Primzahl ist, daher erhalten wir nach dem kleinen Satz von Fermat:

2¹¹ ≡ 2 (gegen 11).

Daher 2⋅2¹¹ ≡ 4 (gegen 11).

Also die Zahl 2¹² geteilt durch 12 mit einem Rest gleich 4.