Finden der inversen Matrix

In dieser Veröffentlichung werden wir betrachten, was eine inverse Matrix ist, und anhand eines praktischen Beispiels analysieren, wie sie mit einer speziellen Formel und einem Algorithmus für sequentielle Aktionen gefunden werden kann.

Definition von inverse Matrix

Erinnern wir uns zunächst daran, was Kehrwerte in der Mathematik sind. Nehmen wir an, wir haben die Zahl 7. Dann ist ihre Umkehrung 7^-1 or ¹/₇. Wenn Sie diese Zahlen multiplizieren, ist das Ergebnis eins, also 7 7^-1 = 1.

Fast das gleiche mit Matrizen. Gleicht Eine solche Matrix wird aufgerufen, indem wir sie mit der ursprünglichen multiplizieren, erhalten wir die Identität. Sie ist gekennzeichnet als A^-1.

A · A^-1 =E

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Um die inverse Matrix zu finden, müssen Sie in der Lage sein, Matrizen zu berechnen und bestimmte Aktionen mit ihnen auszuführen.

Es sei gleich darauf hingewiesen, dass die Inverse nur für eine quadratische Matrix gefunden werden kann, und zwar mit der folgenden Formel:

|A| – Matrixdeterminante;

A^T_M ist die transponierte Matrix algebraischer Additionen.

Hinweis: Wenn die Determinante Null ist, existiert die inverse Matrix nicht.

Beispiel

Lassen Sie uns nach der Matrix suchen A unten ist das Gegenteil davon.

Lösung

1. Lassen Sie uns zuerst die Determinante der gegebenen Matrix finden.

2. Lassen Sie uns nun eine Matrix erstellen, die dieselben Abmessungen wie die ursprüngliche hat:

Wir müssen herausfinden, welche Zahlen die Sternchen ersetzen sollen. Beginnen wir mit dem obersten linken Element der Matrix. Das Moll dazu findet man, indem man die Zeile und Spalte, in der es steht, durchstreicht, also in beiden Fällen bei Nummer eins.

Die Zahl, die nach dem Durchstreichen verbleibt, ist die erforderliche Unterzahl, dh M₁₁ = 8.

In ähnlicher Weise finden wir die Minoren für die verbleibenden Elemente der Matrix und erhalten das folgende Ergebnis.

3. Wir definieren die Matrix der algebraischen Additionen. Wie man sie für jedes Element berechnet, haben wir separat betrachtet.

Zum Beispiel für ein Element a₁₁ algebraische Addition wird wie folgt betrachtet:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 8 = 8

4. Führen Sie die Transposition der resultierenden Matrix aus algebraischen Additionen durch (dh vertauschen Sie die Spalten und Zeilen).

5. Es bleibt nur, die obige Formel zu verwenden, um die inverse Matrix zu finden.

Wir können die Antwort in dieser Form belassen, ohne die Elemente der Matrix durch die Zahl 11 zu dividieren, da wir in diesem Fall hässliche Bruchzahlen erhalten.

Ergebnis prüfen

Um sicherzustellen, dass wir die Umkehrung der ursprünglichen Matrix erhalten haben, können wir ihr Produkt finden, das der Identitätsmatrix entsprechen sollte.

Als Ergebnis haben wir die Identitätsmatrix erhalten, was bedeutet, dass wir alles richtig gemacht haben.