In dieser Veröffentlichung betrachten wir einen der Hauptsätze der euklidischen Geometrie – den Satz von Stewart, der diesen Namen zu Ehren des englischen Mathematikers M. Stewart erhielt, der ihn bewies. Wir werden auch ein Beispiel für die Lösung des Problems detailliert analysieren, um das vorgestellte Material zu konsolidieren.
Aussage des Theorems
Dan-Dreieck ABC. An seiner Seite AC Punkt genommen D, die mit der Oberseite verbunden ist B. Wir akzeptieren die folgende Notation:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = und
Für dieses Dreieck gilt die Gleichheit:
Anwendung des Theorems
Aus dem Satz von Stewart können Formeln zum Ermitteln der Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden eines Dreiecks abgeleitet werden:
1. Die Länge der Winkelhalbierenden
Lassen lc ist die zur Seite gezogene Winkelhalbierende c, die in Segmente unterteilt ist x и y. Nehmen wir die anderen beiden Seiten des Dreiecks als a и b… In diesem Fall:
2. Mittlere Länge
Lassen mc ist der Mittelstreifen zur Seite gedreht c. Lassen Sie uns die anderen beiden Seiten des Dreiecks als bezeichnen a и b… Dann:
Beispiel für ein Problem
Dreieck gegeben ABC. Auf der Seite AC gleich 9 cm, Punkt genommen D, die die Seite so teilt AD doppelt so lang DC. Die Länge des Segments, das den Scheitelpunkt verbindet B und Punkt D, ist 5 cm. In diesem Fall das gebildete Dreieck ABD ist gleichschenklig. Finden Sie die restlichen Seiten des Dreiecks ABC.
Lösung
Lassen Sie uns die Bedingungen des Problems in Form einer Zeichnung darstellen.
AC = AD + DC = 9cm. AD länger DC zweimal, dh AD = 2DC.
Folglich ist die 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Also, DC = 3cm, AD = 6cm.
Weil Dreieck ABD – gleichschenklig und Seite AD ist 6 cm, also sind sie gleich AB и BDIe AB = 5cm.
Es bleibt nur zu finden BC, Ableitung der Formel aus Stewarts Theorem:
Wir setzen die bekannten Werte in diesen Ausdruck ein:
Auf diese Weise, BC = √52 ≈ 7,21 cm.