System linearer algebraischer Gleichungen

In dieser Veröffentlichung werden wir die Definition eines Systems linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) betrachten, wie es aussieht, welche Typen es gibt und wie es in Matrixform, einschließlich einer erweiterten, dargestellt werden kann.

Definition eines linearen Gleichungssystems

System linearer algebraischer Gleichungen (oder kurz „SLAU“) ist ein System, das im Allgemeinen so aussieht:

• m ist die Anzahl der Gleichungen;
• n ist die Anzahl der Variablen.
• x₁, X₂,…, X_n - Unbekannt;
• a₁₁,₁₂…, A_mn – Koeffizienten für Unbekannte;
• b₁, B₂,…, B_m – kostenlose Mitglieder.

Koeffizientenindizes (a_ij) werden wie folgt gebildet:

• i ist die Nummer der linearen Gleichung;
• j ist die Nummer der Variablen, auf die sich der Koeffizient bezieht.

SLAU-Lösung – solche Zahlen c₁, C₂,…, C_n , in deren Einstellung statt x₁, X₂,…, X_n, alle Gleichungen des Systems werden zu Identitäten.

Arten von SLAU

1. Homogene – alle freien Mitglieder des Systems sind gleich Null (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogen – wenn obige Bedingung nicht erfüllt ist.
3. Quadratische Form – die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Unbekannten, dh m = n.

   

4. Unterbestimmt – die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen.

   

5. überschrieben Es gibt mehr Gleichungen als Variablen.

   

Abhängig von der Anzahl der Lösungen kann SLAE sein:

1. Normschliff hat mindestens eine Lösung. Wenn es eindeutig ist, heißt das System außerdem definit, wenn es mehrere Lösungen gibt, heißt es unbestimmt.

   

   Die obige SLAE ist gemeinsam, weil es mindestens eine Lösung gibt: x = 2, y = 3.

2. unvereinbar Das System hat keine Lösungen.

   

   Die rechten Seiten der Gleichungen sind gleich, die linken nicht. Somit gibt es keine Lösungen.

Matrixschreibweise des Systems

SLAE kann in Matrixform dargestellt werden:

AXT = B

• A ist die Matrix, die durch die Koeffizienten der Unbekannten gebildet wird:

  

• X – Variablenspalte:

  

• B – Spalte der freien Mitglieder:

  

Beispiel

Wir stellen das folgende Gleichungssystem in Matrixform dar:

Unter Verwendung der obigen Formulare stellen wir die Hauptmatrix mit Koeffizienten, Spalten mit unbekannten und freien Elementen zusammen.

Vollständige Aufzeichnung des gegebenen Gleichungssystems in Matrixform:

Erweiterte SLAE-Matrix

Wenn zur Matrix des Systems A Fügen Sie rechts die Spalte für kostenlose Mitglieder hinzu B, indem Sie die Daten mit einem vertikalen Balken trennen, erhalten Sie eine erweiterte SLAE-Matrix.

Für das obige Beispiel sieht das so aus:

– Bezeichnung der erweiterten Matrix.