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In dieser Veröffentlichung betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften der Höhe in einem gleichseitigen (regelmäßigen) Dreieck. Wir werden auch ein Beispiel für die Lösung eines Problems zu diesem Thema analysieren.
Hinweis: das Dreieck heißt gleichseitigwenn alle Seiten gleich sind.
Höheneigenschaften in einem gleichseitigen Dreieck
Eigenschaft 1
Jede Höhe in einem gleichseitigen Dreieck ist sowohl eine Winkelhalbierende, ein Median und eine senkrechte Winkelhalbierende.
- BD – Höhe seitlich abgesenkt AC;
- BD ist der Median, der die Seite teilt AC in zwei Hälften, dh AD = DC;
- BD - Winkelhalbierende ABC, dh ∠ABD = ∠CBD;
- BD ist der Median senkrecht zu AC.
Eigenschaft 2
Alle drei Höhen in einem gleichseitigen Dreieck sind gleich lang.
AE = BD = CF
Eigenschaft 3
Die Höhen in einem gleichseitigen Dreieck am Orthozentrum (Schnittpunkt) werden im Verhältnis 2:1 geteilt, gezählt von dem Scheitelpunkt, von dem aus sie gezeichnet werden.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Eigenschaft 4
Das Orthozentrum eines gleichseitigen Dreiecks ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises.
- R ist der Radius des umschriebenen Kreises;
- r ist der Radius des Inkreises;
- R = 2r (Folgt aus Eigenschaften 3).
Eigenschaft 5
Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck teilt es in zwei flächengleiche (flächengleiche) rechtwinklige Dreiecke.
S1 = S2
Drei Höhen in einem gleichseitigen Dreieck teilen es in 6 rechtwinklige Dreiecke gleicher Fläche.
Eigenschaft 6
Wenn man die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks kennt, kann man seine Höhe nach folgender Formel berechnen:
a ist die Seite des Dreiecks.
Beispiel für ein Problem
Der Radius eines um ein gleichseitiges Dreieck umschriebenen Kreises beträgt 7 cm. Finde die Seite dieses Dreiecks.
Lösung
Wie wir wissen aus Eigenschaften 3 и 4, der Radius des Umkreises ist 2/3 der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks (h). Folglich, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Jetzt muss noch die Seitenlänge des Dreiecks berechnet werden (der Ausdruck leitet sich von der Formel in ab Eigenschaft 6):
